毕达哥拉斯定理是什么?毕达哥拉斯定理的内容
本文已影响1.95W人
本文已影响1.95W人
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。
欧几里得证法
证明的思路为:从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB2。
同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC2。
把这两个结果相加,AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此AB2+AC2=BC2,即a2+b2=c2。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。
毕达哥斯拉定律是什么
恩斯特二世是谁?萨克森 科堡 哥达公爵恩斯特二世的简介
米克尔·伊达尔哥·科斯蒂亚是谁?墨西哥国父科斯蒂亚生平简介
《哥斯拉2:怪兽之王》彩蛋有彩蛋内容吗 彩蛋分别在第几分钟呢
法国物理学家拉普拉斯简介:他和拿破仑结下了什么不解之缘?
拉普拉斯的伟大成就?拉普拉斯发表的论文
恩斯特一世是谁?萨克森-科堡-哥达公爵恩斯特一世的简介
斯拉夫人为什么会分裂?是怎么分裂成东斯拉夫人和西斯拉夫人的
勃拉姆斯音乐是什么风格 勃拉姆斯的爱情故事
《完美关系》斯黛拉的结局是什么 斯黛拉和叶东烈在一起了吗
查拉图斯特拉如是说讲的什么 查拉图斯特拉如是说经典语录
恩斯特一世是谁?萨克森 科堡 哥达公爵恩斯特一世的简介
东斯拉夫人为什么内斗?详解东斯拉夫人的恩恩怨怨
恩斯特二世是谁?萨克森-科堡-哥达公爵恩斯特二世的简介
尼古拉特斯拉穿越的说法 尼古拉特斯拉预言介绍
金刚大战哥斯拉怎么画
罗斯季斯拉夫一世·姆斯季斯拉维奇历史 罗斯季斯拉夫一世·姆斯季斯拉维奇历史百科
哥斯拉和摩斯拉是什么关系
留克特拉战役:对斯巴达人和底比斯人影响深远
哥斯拉简笔画
留克特拉战役:对斯巴达人和底比斯人都影响深远
毕达哥拉斯著作 古希腊毕达哥拉斯主义
安哥拉之战对奥斯曼帝国产生了什么影响?
揭秘春秋时期君权旁落定律 郑庄公一死郑国从此一蹶不
唐懿宗为什么会为了同昌公主,制造出御医惨死案?
红楼梦中柳五儿是个什么样的人?她为何拒绝钱槐的提亲
《红楼梦》孙绍祖之前就赔了钱,为什么还想娶迎春?
三国时期公孙渊背叛曹魏自立为燕王,到底是怎么一回事?
章邯有妻子吗?秦朝的晨曦公主是章邯的妻子吗
《绣云阁》第五十二回:灵宅子使妖入彀 赤鲤精剖案如神
乾隆后宫中的妃子那么多 乾隆最爱的女人是谁
岳飞之子的贴身护卫,历史上有王横这个人吗?
秦始皇陵暗藏土木金字塔竟比胡夫金字塔还大
徐辉祖和徐皇后亲姐弟吗?两人关系是什么样的?
东汉时期的三河地区有多重要?为什么会成为兵家必争之地
朱元璋的女儿宝庆公主到底有多幸福 享尽3代帝王的宠爱
盖了别墅又拆迁 因为这个奴才和珅差点跌倒!
古代科举高中状元之后 他们一般能做到多大的官